DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Diferenciación numérica

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.

Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa. La cuesta de esta línea es

Esta expresión es Neutonio's cociente de la diferencia.

La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una línea de la tangente:

Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.

Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante próxima a través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)). La cuesta de esta línea es

Más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a través de los puntos (x − h₁,f(x − h₁)) y(x + h₂,f(x + h₂)). La cuesta de esta línea es

La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h² de modo que la valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que la valoración del dos-punto cuando h es pequeño.

A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas. 

Se puede representar generalmente como:  

 

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.

Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada.

Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita.

Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2.

Las primeras usan a, mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada.

Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.

Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS. 

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por: 

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene: 

Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás.

APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES.

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante: 

La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas )de la primera derivada.

Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.

Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MÁS ALTO USANDO DIFERENCIAS FINITAS. 

Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.

Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma: 

La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener: 
 

que se puede resolver para 

A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales.

Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR 

Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos.

Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante (Ecuación 6) se puede resolver para: 

Nótese que la inclusión del termino con segunda derivada ha dado una exactitud .

Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.

GRAFICAS DE APROXIMACIONES CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 
DE LA PRIMERA DERIVADA. 

El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera:

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA 

.FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE. 

SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDAFORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA. 

FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA. 

FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA. 

REGLA DEL TRAPECIO

MÉTODO SIMPSON 3/8

MÉTODO SIMPSON 1/3

Ejercicios U3.

U2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES.

Método de Bisección.

Si queremos encontrar la solución f(x)=0 dentro de un intervalo (a, b), se va reduciendo dicho intervalo hasta que el error sea menor o igual a la tolerancia.

- Algoritmo.

1. Dada una f(x) en un intervalo [a, b].
2. Se calcula punto medio m=a+b/2.
3. Se evalúa f(m); si f(m)=0, encontramos la raíz.
4. Si f(m) < 0, entonces b=m; si f(m) > 0 entonces a=m.

- Ejemplo.

Método de Aproximaciones Sucesivas.

1.- Dada una función f(x) que contenga al menos una raíz, se iguala a cero y se despeja x.

2.- x entonces ahora será g(x).

3.- Se deriva g(x) quedando g'(x) para evaluar g'(x) < 1; esto significa que converge,

4.- Establecer Xo inicial y probar.

5.- Si g'(Xo) > 1, la función no converge. Entonces, hay que probar con otra g(x) despejada de f(x) e iterar hasta E < Tolerancia,

6.- Xo será el valor de g(x) cuando converge.

7.- Cuando Xo sea igual a g(x) cuando converja. 

8.- Cuando Xo sea igual a g(x), encontramos la raíz.

- Ejemplo.

UNIDAD 1

LEER EL ARCHIVO Y ENTENDER CADA CONCEPTO
REVISAR EL EJEMPLO Y GENERAR 5 EJEMPLOS

1.1 . Importancia de los métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

·        STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit.  McGraw Hill, México, S.A de C.V., 1987.  PAG. 1

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

·        NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit.  Prentice Hall, México, 1992.  PREFACIO..

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

·         Cálculo de derivadas

·         Integrales

·         Ecuaciones diferenciales

·         Operaciones con matrices

·         Interpolaciones

·         Ajuste de curvas

·         Polinomios

1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo.

Cifra significativa: 

Podemos definir como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error. Son cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o posición de error.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Reglas de operaciones con cifras significativas.

Regla 1: los resultados experimentales se expresan con una sola cifra dudosa, e indicando con + - la incertidumbre en la medida.

Regla 2: las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el digito dudoso.

Regla 3: al sumar o restar dos números decimales, el numero de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

Regla 4: al multiplicar o dividir dos números, el numero de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

Ejemplo:

-Valor de Pi.

Precisión y exactitud:

En ingeniería, ciencia, industria, estadística, exactitud y precisión no son equivalentes. Es importante resaltar que la automatización de diferentes pruebas o técnicas puede producir un aumento de la precisión. Esto se debe a que con dicha automatización, lo que logramos es una disminución de los errores manuales o su corrección inmediata.

Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud.

Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.

La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos

Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.

Precisión Numérica se refiere al valor real con una cierta cantidad de dígitos que representan al valor.

≈ 

Exactitud Numérica se refiere al valor real con todo los dígitos que representan al valor.

Incertidumbre:

Incertidumbre también se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento.

El error respecto del valor promedio.

EJEMPLO; Supongamos que en una medición el resultado final ha proporcionado un valor a=10.4, con una incertidumbre δa=0.4. Escribimos: a =10.6 ± 0.4 Si suponemos que la incertidumbre tiene un comportamiento gaussiano el resultado indica que (como ya veremos) el valor que estamos midiendo: tiene una probabilidad del 95% de estar entre 9.8 y 11.4 (a 2 desviaciones típicas)

Sesgo:

Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática

Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular. 

1.3 Tipos de errores.

Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que es conveniente estimar.

Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la contribución de cada una en cada caso.

Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas.

Fuentes de error

Son tres que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con ellas:

·         Inherentes.

Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de 0.333333 en lugar de 1/3.)

·         Truncamiento.

Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el cálculo de integrales o el uso de diferencias finitas para el cálculo de derivadas. Los errores de truncamiento causan inexactitud de los resultados.

  Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen estudiarse algunas propiedades asociadas con los errores, en estos casos es al error de truncamiento al que se refiere,  exponente, que se expresa en función de algún parámetro conveniente, h, que tiende a 0 (o a infinito ) cuando el error es nulo.

 Es frecuente comparar:

Convergencia:

e(h)= 0       Cuando

h=0

·        Redondeo.

Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las operaciones (cifras significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a acumularse.

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

ERRORES INHERENTES.

Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos.

ERRORES POR REDONDEO.

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta.

ERRORES POR TRUNCAMIENTO.

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada.

            __

X  =  X  +  Ex 

Donde

X  =  cantidad verdadera

 __

  X  =  cantidad aproximada

Ex =  error absoluto

                      __

Ex =   |X – X |

                     

El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la cantidad absoluta y su aproximación incluye sus unidades fisicas.

FORMA RELATIVA.

El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que no tiene unidades.

                                                         __

                            Erx  =  Ex / X  @  Ex / X

EJEMPLO:

Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados:

                                          Error absoluto                   error relativo

   A = ( 100 + 1 )m                Ea = 1m                Era = Ea = 1m  = 0.01 = 1%

                                                                                        X    100m

  B = (  8 + 0.8 )ft                  Eb = 0.8ft          Erb = Eb = 0.8ft =  0.1 = 10%